Blwydd:

• is used to refer to age. It can be omitted.
• on its own, means 'a year old'.
• is a feminine noun and always remains feminine regardless of the gender of the subject.

e.g.
Mae Sioned yn dair blwydd oed. / Mae Sioned yn dair oed.
Mae Steffan yn flwydd.
Mae Rhys yn bedair oed.
Mae'r esgidiau yn wyth mlwydd oed.

Blwyddyn:

• is a feminine, singular noun.
• is used with the cardinal 'one' and with all ordinals, i.e. 1st year, 2nd year, 3rd year...

e.g.
Mae Tomos yn ei drydedd flwyddyn yn yr ysgol.
Dyma'r bedwaredd flwyddyn ers iddi adael.

Blynedd:

• is a plural noun.
• is used after all numerals apart from 'one', i.e. 2 years, 3 years, 10 years, 20 years.

e.g.
Aeth Gwen i fyw yn Sbaen am dair blynedd.
Mae un mlynedd ar bymtheg ers i ni symud yma.
Tair blynedd yw hyd y cwrs.